Résolutions d'équations et inéquations avec la fonction $\ln$

Liens avec la fonction exponentielle :

Pour tout réel $x$, $\ln (e^x)=x$.

Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln x}=x$.

 

Equations 

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$\displaystyle \ln x=\ln y \iff x=y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$\displaystyle \ln x=a\iff x=e^a$.

 

Inéquations

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$\displaystyle \ln x<\ln y \iff x < y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$\displaystyle \ln x<a\iff x<e^a$.

 

Exemple

Résoudre $\displaystyle 3\ln (x+1)-3=0$ en précisant l'ensemble d'étude.

 

étape 1 :

On n'oublie pas de préciser l'ensemble de définition sur lequel on travaille.

$x$ doit vérifier : $x+1>0$ soit : $x>-1$.

On cherche donc des solutions sur $]-1;+\infty[$.

 

étape 2 :

On se ramène à une écriture du type : $\ln x=\ln y$ en utilisant $\ln e=1$.

$\displaystyle 3\ln (x+1)=3$

$\displaystyle \ln (x+1)=1$

$\displaystyle \ln (x+1)= \ln e$

 

étape 3 :

On sait que $\displaystyle \ln x=\ln y \iff x=y$  Ainsi :

$\displaystyle x+1= e$

$\displaystyle x= e-1$

 

étape 4 :

On conclut en donnant l'ensemble des solutions.

$\mathcal{S} = \{ e-1\}$ 

 

Autre exemple

Résoudre  sur $]-1;+\infty[$ :

$\displaystyle \ln (x+3)-2\ln (x+1) \leqslant 0 $

 

étape 1 :

On sait que $\displaystyle \ln x \leqslant \ln y \iff x \leqslant y$ donc on réécrit l'expression pour faire apparaître l'inéquation entre deux logarithmes.

$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant 2\ln (x+1)$ soit

$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2$

 

étape 2 :

On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.

$\displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2 \iff (x+3) \leqslant (x+1)^2$

$\displaystyle x+3 \leqslant x^2 + 2x +1$

$\displaystyle x^2 + x -2 \geqslant 0$

 

étape 3 :

On remarque que $1$ est une solution évidente du trinôme où on calcule son discriminant et on trouve que $1$ et $-2$ sont les racines de $x^2 + x -2.$

 

étape 4 :

Pour déterminer le signe du trinôme, on utilise un tableau de signes uniquement sur l'ensemble de définition.

La racine $x=-2$ n'apparait donc pas :

étape 5 :

On fait attention à l'ensemble de définition de départ avant de conclure.

$\mathcal{S} = [1; +\infty[$