Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$.

limites_sinus_et_cosinus_infini

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\cos(x)}{x^n}=0$ avec $n\in \mathbb{N}^\star$

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin(x)}{x^n}=0$ avec $n\in\mathbb{N}^\star$

Ces résultats s'obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} =\sin'(0) = \cos(0) = 1$

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\sin(4x)}{x}$.

Il s'agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $\dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times \dfrac{\sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=4}$